（ａ） （ｂ）
| 数学 有限か、無限か、千日手の話 〜「ロジカルな将棋入門」〜 |
ＮＯ．１７８ |
２００６．６．７作成
先日、学校の図書館で、おもしろい本を見つけました。それは、「ロジカルな将棋入門」（野崎昭弘著）という本
で、数学者が書いた入門書です。この数学の部屋Ｎｏ．２２にも書いた、将棋における最大分岐数は５９３通り
だとか、おもしろい切り口で将棋を紹介している本です。最後の第６章には、「将棋と数学」というタイトルで
指し手について数学的な考察がされていて、とても興味深いものでした。その中に、「千日手」の話があったので
紹介したいと思います。
有限か、無限か
一局の将棋を指すことは、指し手の木の上では、「上から下へ、１本の道筋を辿ってゆく」ことです。このような
道筋（ｐａｓｓ）は、どちらかの王様が詰んでしまえばそこで終わりですし、持将棋（引き分け）になっても終わりです
が、なかなか勝負がつかずに延々と続けられることもあるでしょう。しかし「永遠に勝負がつかない」ことはありうる
でしょうか？
この問題に関するのが「千日手」の規則です。前にも触れましたが、ここではわざと古い形で書いてみましょう。
同じ手順が３回くり返されたら「千日手」とし、無勝負とする。
たとえば図１（ａ）で、▲４一龍とされると、△２二玉（図１（ｂ））と逃げるしかなく、▲４二龍△２一玉でまたもとに
戻ってしまいます。これを３回くり返すと規則によって「千日手」で、対局は打ち切られます―指し手の木の道筋も、
そこで終わりになるわけです。
図１
（ａ） （ｂ）
図２ 
（ａ） （ｂ）
でも図１では、次のような指しかたもあります。▲１七金（図２（ａ））△３五馬▲１六金（図２（ｂ））△３四馬
これでまた戻ってしまいます。前の手順（▲４一龍、△２二玉、▲４二龍、△２一玉）をＡで表わし、あとの手順
（▲１七金、△３五馬、▲１六金、△３四馬）をＢで表わすことにしましょう。これらの手順をうまく組みあわせて
「千日手にならずにいつまでも指し続ける」ことはできるでしょうか？
なにそんなのは簡単だ、たとえば、ＡＢＡＢＡＢＡＢ…と指してゆけばよい―と思ったら、それは早合点というもの
です。これでは「ＡＢ」という８手の手順がくり返されていますので、ＡＢ、ＡＢ、ＡＢと指したところで千日手が成立して
しまいます。
では次のようにすればどうでしょうか。ＡＢＡＢＢＡ、ＡＢＢＡＡＢ、ＢＡＡＢＡＢ、…
しかしこれも、このパターンをくり返すのだったらやはりいつかは千日手になりますし、実はこの中にすでに
「同じ手順の３回反復」が含まれています（図３）。
図３
（１）ＡＢＡＢＢＡ、ＡＢＢＡＡＢ、ＢＡＡＢＡＢ、ＡＢＡＢＢＡ、…
（２） やコンマを省いてツメて書いてみると、
ＡＢＡＢＢＡＡＢＢＡＡＢＢＡＡＢＡＢ…
というわけで、「決して千日手にならない無限の列」を作るのはけっこうむずかしいのですが、うまくやれば
できます。図４に示したトゥエ列はその一例で、どの部分を調べても、「同じパターンが３回続く」場所は絶対に
ありません。千日手の昔の規則では、「永久に勝負がつかず、千日手にもならない」場合がありうるのでした。
図４
（T）トゥエ列（Ｔｈｕｅ ｓｅｑｕｅｎｃｅ）
ＡＢＢＡＢＡＡＢＢＡＡＢＡＢＢＡ，
ＢＡＡＢＡＢＢＡＡＢＢＡＢＡＡＢ，
ＢＡＡＢＡＢＢＡＡＢＢＡＢＡＡＢ，
ＡＢＢＡＢＡＡＢＢＡＡＢＡＢＢＡ，
ＢＡＡＢＡＢＢＡＡＢＢＡＢＡＡＢ，
ＡＢＢＡＢＡＡＢＢＡＡＢＡＢＢＡ，
ＡＢＢＡＢＡＡＢＢＡＡＢＡＢＢＡ，
ＢＡＡＢＡＢＢＡＡＢＢＡＢＡＡＢ，
…
（U）トゥエ列の作り方
（ア）”Ａ”から出発する。
（イ）それまでにできている列”○○…○”から、「ＡをＢに、ＢをＡに」書きかえた列”□□…□”を作り、
それを前の列につなぐ。
たとえば”Ａ”のＡをＢに書きかえると”Ｂ”になり、これを”Ａ”につなぐと”ＡＢ”ができる。次に、こうして
できた”ＡＢ”の「ＡをＢに、ＢをＡに」書きかえると”ＢＡ”になるから、これを”ＡＢ”につなぐと”ＡＢＢＡ”が
できる。このように操作（イ）を無限に続けると、無限に長い列
Ａ：Ｂ：ＢＡ：ＢＡＡＢ：ＢＡＡＢＡＢＢＡ：…
ができる（つけ加えた列の境いめを点線で示した）
新しい規則では、千日手は次のように規定されています。
同じ局面に３回戻ったら「千日手」とする。連続王手による千日手は攻め方（王手をかけている方）の負けで、
それ以外は無勝負とする。
これならＡＡＢでもＡＢＡでも、同じ局面に３回戻りますから、そこで千日手が成立します。ありうる局面の総数は、
巨大な数になりますが有限には違いありません。ですからどんな指し手を選んでも、いつかは必ず終わるわけ
です。