２００７．２．２４作成

　本屋で、「本試験型　数学検定２級問題集」（成美堂出版）を見つけ、ちょっと買って頭の体操にと問題を解いてみました。この問題集の最初に、

実用数学検定（数検、数学検定）は、財団法人日本数学検定協会が実施しており、階級は、１級から８級までと準２級、準１級を合わせて１０段階

あって、小学校２年〜大学卒業程度までが想定されていて、１次（計算技能検定）と２次（数理技能検定）の２つあると書かれていました。

　この２級の学習範囲は、中学校３年〜高校３年程度ということで、２級の検定試験の内容は次の通りだそうです。

　　１次（計算技能検定）　…　時間：６０分、問題数：１５問、合格基準：全問題の７０％程度

　　２次（数理技能検定）　…　時間：９０分、問題数：必須２問＋選択３問、合格基準：全問題の６０％程度

　この問題集には、５回分の問題があり、１次の計算技能検定はすぐ見てわかるので、２次の数理技能検定のみをやってみました。まあ、２級なら

合格できそうなレベルでしょうか。その中から、ちょっとおもしろい問題があったので、紹介します。

（問題１）　１番から３００番までのゼッケンをつけた３００人の人が一列に並んで座っています。いま、１から６までの目があるサイコロを１個振り、
　　　　　　出た目の倍数のゼッケンをつけている人は立ってもらいます。２回目以降は、サイコロの目の倍数のゼッケンをつけている人は、座って
　　　　　　いるときは立ち、立っているときは座ってもらいます。例えば、１回目が２、２回目が３だと、２番と３番の人は立っていますが、６番の人は
　　　　　　座っています。１が出たときは、すべての人が座っているときは立ち、立っているときは座ることになります。
　　　（１）　サイコロを２回振ったとき、１回目が４、２回目が６でした。何人の人が立っているでしょうか。
　　　（２）　サイコロを７回振った後、サイコロの目に関係なく、必ず立っている人がいます。その人のゼッケンの番号をすべて書き出しなさい。
　　　（３）　サイコロを６回振ったとき、１は一度も出ませんでした。このとき、６回振った後に必ず座っていることがわかっている人は何人いますか。

　（解答）

　　　（１）　全体集合Ｕを１から３００までの整数とします。Ｕの部分集合Ａ、Ｂを、Ａ＝｛ｘ｜ｘは４の倍数｝、Ｂ＝｛ｘ｜ｘは６の倍数｝とすると、
　　　　　　　３００÷４＝７５、３００÷６＝５０、３００÷１２＝２５より、集合Ａ、集合Ｂの個数をそれぞれｎ（Ａ）、ｎ（Ｂ）のように表すと、
　　　　　　　ｎ（Ａ）＝７５、ｎ（Ｂ）＝５０、ｎ（Ａ∩Ｂ）＝２５
　　　　　　ここで立っている人は、
　　　　　　　｛ｎ（Ａ）−ｎ（Ａ∩Ｂ）｝＋｛ｎ（Ｂ）−ｎ（Ａ∩Ｂ）｝＝（７５−２５）＋（５０−２５）＝７５　　（答）７５人

　　　（２）　サイコロの目になっている、１、２、３、４、５、６の最小公倍数６０の倍数のゼッケンをつけている人たちは、サイコロの目に関係なく必ず
　　　　　　立つ、または座るの動作をくり返します。
　　　　　　したがって、サイコロを７回（奇数回）振った後は、必ず立っていることがわかります。よって、　（答）６０、１２０、１８０、２４０、３００

　　　（３）　１以外のサイコロの目には関係ないため座っていることがわかっている人たちのゼッケンは、２、３、５の倍数以外の数であればよいこと
　　　　　　がわかります。
　　　　　　そこで、まず１から３０までの中で２、３、５の倍数以外の整数の個数を調べてみます。
　　　　　　　１、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９
　　　　　　以上より、８個あります。
　　　　　　この後は、３１〜６０、６１〜９０、…、２７１〜３００のように区切った３０個の整数のグループの中で２、３、５の倍数は同様に現れます
　　　　　　ので、１〜３００まででは、
　　　　　　　８×（３００÷３０）＝８０（個）
　　　　　　あることがわかります。
　　　　　　また、（２）の６０の倍数のゼッケンをつけている人たちは、今度は６回（偶数回）ですので、必ず座っています。
　　　　　　以上より、８０＋５＝８５　　（答）８５人

（問題２）　図のように円Ｏの弦ＡＣ、ＢＤが点Ｅで垂直に交わっています。ＡＥ＝ａ、ＢＥ＝ｂ、ＣＥ＝ｃ、ＤＥ＝ｄ、円Ｏの直径をＬとするとき、
　　　　　　　
　　　　　　となることを示しなさい。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　（解答）　略。

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