| 数学 優勝賞金はいくら？ 〜期待値の問題より〜 |
ＮＯ．４１ |
２００１．３．２３作成
今回も、高校の数学Tで習う「確率」の中から、将棋と卓球に関する期待値の問題を考えてみました。
◆優勝賞金はいくら？
Ｑ．Ａ、Ｂ２人が対局して、先に４勝した方が優勝となり賞金１００万円をもらうことになっている。
Ａが２勝、Ｂが３勝したところで、以後の対局を中止して賞金を期待値にしたがって分配することになった。
Ｂがもらう賞金はいくらか。ただし、両者が勝つ確率はともに１／２とする。
Ａ．現在、Ｂが３勝２敗で、２連敗さえしなければ優勝できる。
２連敗する確率は、１／２×１／２＝１／４ だから、Ｂが優勝する確率は、残りの３／４。
よって、Ｂがもらう賞金の期待値は、１００×３／４＝７５（万円）
◆何試合目で勝負が付くか？
Ｑ．Ａ、Ｂ２チームが卓球の団体戦をすると、先に３つ取った方が勝ちとなる。このとき、チームの
勝ちが決まるのに必要な試合数の期待値を求めよ。ただし、各試合の勝つ確率はともに１／２とする。
Ａ．３試合目で勝ちが決まる確率
○○○ または ××× の２通りだから、確率は １／２×１／２×１／２×２＝１／４
４試合目で勝ちが決まる確率
２勝１敗で勝ちとなる ○○×○、○×○○、×○○○
または １勝２敗で負ける ○×××、×○××、××○× の６通りだから、
確率は １／２×１／２×１／２×１／２×６＝３／８
５試合目で勝ちが決まる確率
２勝２敗で勝ち または 負け で、4Ｃ2×２＝１２通りだから、
確率は １／２×１／２×１／２×１／２×１／２×１２＝３／８
よって、勝ちが決まるのに必要な試合数の期待値は、
３×１／４＋４×３／８＋５×３／８＝３３／８＝４．１２５（試合）
つまり、互角のチーム同士が戦えば、４・５番までもつれるということですね。