| 数学 ポーカーによる組合せ 〜演習お正月バージョン〜 |
ＮＯ．５０ |
２００２．１．８作成
２学期の終わりに、数学Tの順列・組合せの演習でお正月バージョンとして、「ポーカーによる組合せ」という
同僚の平野先生に作っていただいたプリントをやらせました。残念ながら、お正月も終わってしまいましたが、
紹介したいと思います。
ジョーカーを含まない１組（５２枚）のトランプをよく切って、５枚のカードを抜きだす。この時、起こりうる全ての
場合の数は、５２枚から５枚を選ぶ組合せだから
総数：52Ｃ5＝５２×５１×５０×４９×４８／５×４×３×２×１＝２５９万８９６０通り
である。さて、以下のような組合せは、それぞれ何通りあるだろうか？
１．ワン・ペア（２枚のカードの数字が一致し、残りは異なる）
まず、どの数字がペアになるのか？その選び方は13Ｃ1＝１３通り。その数字のカードは、スペード、ハート、
クラブ、ダイヤの４枚あり、そのうちどの２枚でもよいから4Ｃ2＝４×３／２×１＝６通り。また、残りの３枚は
ペアになった数字以外の１２種類から３枚選ぶので12Ｃ3＝１２×１１×１０／３×２×１＝２２０通り。さらに、
選ばれた３種類の数字のカードも、それぞれスペード、ハート、クラブ、ダイヤの４枚あるから、４×４×４＝６４
通り。よって、どのペアに対しても、それぞれ残りの３枚が同じ様に選べるから、積の法則により、
１３×６×２２０×６４＝１０９万８２４０通り
２．ツー・ペア（ワン・ペアが２組できる）
（ヒント…ペアになる２組の選び方は？）
13Ｃ2×4Ｃ2×4Ｃ2×11Ｃ1×４＝１２万３５５２通り
└ツー・ペアの部分┘
３．スリー・カード（３枚のカードの数字が一致し、残りは異なる）
13Ｃ1 × 4Ｃ3 ×12Ｃ2×４×４＝５万４９１２通り
└スリー・カードの部分┘
４．ストレート（５枚のカードの数字が、全て連続する）
注：１３（Ｋ…キング）と１（Ａ…エース）はつながるものとする。また、以降の７．９．１０．は除く。
７．のパターン以外は１２通り（例えば２〜６、７〜１１等）。選ばれた数字のカードは、皆４枚ずつあるから、
４の５乗通り。そのうち９．のパターンは４通りだから、
１２×（４の５乗−４）＝１万２２４０通り
５．フラッシュ（５枚とも同じ図柄）
（ヒント…１つの図柄だけで考えて最後に４倍！ストレートにならないように）
１３枚から５枚選ぶが、ストレートになる１３通りを除くから
（13Ｃ5−１３）×４＝５０９６通り
６．フル・ハウス（スリー・カードとワン・ペアの組合せ）
13Ｃ1 × 4Ｃ3 × 12Ｃ1 × 4Ｃ2 ＝３７４４通り
└スリー・カードの部分┘└ワン・ぺアの部分┘
７．ロイヤル・ストレート（Ａ、１０、Ｊ、Ｑ、Ｋ）
フラッシュになる場合を除いて
４×４×４×４×４−４＝１０２０通り
８．フォー・カード（４枚のカードの数字が一致する）
13Ｃ1 × 4Ｃ4 ×12Ｃ1×４＝６２４通り
└フォー・カードの部分┘
９．ストレート・フラッシュ（同じ図柄の連続した数字）
１０．のパターンを除くから
１２×４＝４８通り
１０．ロイヤル・ストレート・フラッシュ（同じ図柄のＡ、１０、Ｊ、Ｑ、Ｋ）
これは簡単！
４通り
〈番外〉カス（上記の１〜１０のどれにもあたらない５枚のカード）
５．のような数字で、フラッシュにならなければよい
（13Ｃ5−１３）×（４の５乗−４）＝１２９万９４８０通り
◎さて、１．〜〈番外〉まで全部たして総数になるだろうか？